近畿大2025 A日程 2/14法/経営/文芸/短期1問

2025文系数学近畿大

問題

第1問
tt を実数とする。OO を原点とする座標空間に 2点 P(2t,t−2,t2),Q(t2−3,t,−2t+3)P(\;2t,\;t-2,\;t^2),\;Q(\;t^2-3,\;t,\;-2t+3)\;がある。

(1)P\;P\;がxz\;xz\;平面上にあるのはt=1□\;t\;=\;{}^{1}\Box\;のときであり,Q\;Q\;がxy\;xy\;平面上にあるのは
t=2□3□\;t\;=\frac{{}^{2}\Box}{{}^{3}\Box}\;のときである。

(2)OP=OQ\;OP\;=\;OQ\;となるときのt\;t\;の値は,小さい方から順に−4□5□,6□\;-\frac{{}^{4}\Box}{{}^{5}\Box}\;,{}^{6}\Box\;である。

(3)t>0\:t>0\;であって,OP→\;\vec{OP}\;とOQ→\;\vec{OQ}\;が垂直であるとき,t\;t\;の値は7□\;{}^{7}\Box\;である。このとき,三角形OPQ\;OPQ\;の
面積は8□9□\;{}^{8}\Box\sqrt{{}^{9}\Box}\;である。

(4)PQ\;PQ\;が最小となるときのt\;t\;の値は,小さい方から順に−10□,11□\;-{}^{10}\Box,\;{}^{11}\Box\;である。
また,PQ\;PQ\;の最小値は1213□\;{}^{12}\sqrt{{}^{13}\Box}\;である。

典型的なベクトル、図形の問題。
xz平面上という文面からy座標が0ということにすぐ気づいて手を動かしていきたい。(2)(3)は
ベクトルに関する基礎的な問題なので方針をすぐ立てた上で計算、(4)は距離の最小値に関する問題なので、図的に考えるのではなく距離に関する式を立てることに注力したい。

解答

解説
(1)
P\;P\;がxz\;xz\;平面上のとき,P\;P\;のy\;y\;座標は0\;0\;。t−2=0→t=2\;t-2=0\rightarrow\;t=2\;
Q\;Q\;がxy\;xy\;平面上のとき,Q\;Q\;のz\;z\;座標は0\;0\;。−2t+3=0→t=32\;-2t+3=0\rightarrow\;t=\frac{3}{2}\;

(2)
OP2=(2t)2+(t−2)2+(t2)2=t4+5t2−4t+4\;OP^2=(2t)^2+(t-2)^2+(t^2)^2=t^4+5t^2-4t+4\;
OQ2=(t2−3)2+t2+(−2t+3)2=t4−t2−12t+18\;OQ^2=(t^2-3)^2+t^2+(-2t+3)^2=t^4-t^2-12t+18\;
OP=OQ→OP2=OQ2\;OP=OQ\rightarrow\;OP^2=OQ^2\;
→t4+5t2−4t+4=t4−t2−12t+18\;\rightarrow\;t^4+5t^2-4t+4=t^4-t^2-12t+18\;
→6t2+8t−14=0→3t2+4t−7=0\;\rightarrow6t^2+8t-14=0\;\rightarrow\;3t^2+4t-7=0\;
−2t+3=0→t=−73,1\;-2t+3=0\rightarrow\;t=-\frac{7}{3}\;,1\;

(3)
OP→=(2t,t−2,t2),OQ→=(t2−3,t,−2t+3)\;\vec{OP}=(2t,t-2,t^2)\;,\;\vec{OQ}=(t^2-3,t,-2t+3)\;
t>0t>0\;より,OP→≠0→,OQ→≠0→\vec{OP}\ne\vec0\;,\vec{OQ}\ne\vec0\;
OP→⟂OQ→\vec{OP}\perp\vec{OQ}\;のとき,OP→⋅OQ→=0\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=0\;
(2t,t−2,t2)⋅(t2−3,t,−2t+3)=0\;(2t,t-2,t^2)\cdot(t^2-3,t,-2t+3)\;=0\;
→2t3−6t+t2−2t−2t3+3t2=0\;\rightarrow2t^3-6t+t^2-2t-2t^3+3t^2=0\;
→4t2−8t=0\;\rightarrow4t^2-8t=0\;
→4t(t−2)=0\;\rightarrow4t(t-2)=0\;
t>0\;t>0\;よりt=2\;t=2\;
このとき,OP→=(4,0,4),|OP→|=42,OQ→=(1,2,−1),|OQ→|=6\vec{OP}=(4,0,4),\;|\vec{OP}|=4\sqrt{2},\;\vec{OQ}=(1,2,-1),\;|\vec{OQ}|=\sqrt{6}\;
△OPQ=12|OP→||OQ→|=12⋅42⋅6=43\triangle{OPQ}=\frac{1}{2}|\vec{OP}||\vec{OQ}|=\frac{1}{2}\;\cdot4\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}=4\sqrt{3}\;

(4)
PQ→=OQ→−OP→=(t2−2t−3,2,−t2−2t+3)\;\vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}=(t^2-2t-3,\;2,\;-t^2-2t+3)\;
|PQ→|2=(t2−2t−3)2+4+(−t2−2t+3)2=2t4−4t2+22=2(t2−1)2+20\;|\vec{PQ}|^2=(t^2-2t-3)^2+4+(-t^2-2t+3)^2=2t^4-4t^2+22=2(t^2-1)^2+20\;
|PQ→|2\;|\vec{PQ}|^2\;はt2=1\;t^2=1\;で最小値20\;20\;をとる。
|PQ→|>0\;|\vec{PQ}|>0\;より,PQ\;PQ\;はt=−1,1\;t=-1,\;1\;で最小値20\;\sqrt{20}\;をとる。

解答
1:2(3点)　2,3:32(3点)　4,5:73(3点)　6:1(3点)
7:2(4点)　8,9:43(3)点　10:1(4点)　11:1(4点)　12,13:25(6点)