近畿大2025 A日程 2/14法/経営/文芸/短期第2問

2025文系数学近畿大

問題

第2問
a\;a\;を実数とし,以下の関数f(x)\;f(x)\;を考える。ただし,0≤x<2π\;0\le\;x\;<2\pi\;とする。
f(x)=(sinx+cosx)(2sinxcosx−5)−6sinxcosx+a\;f(x)=(\;sin\;x\;+\;cos\;x\;)(\;2\;sin\;x\;cos\;x\;-5\;)\;-6\;sin\;x\;cos\;x\;+\;a
また,t=sinx+cosx\;t=\;sin\;x+\;cos\;x\;とおく。

(1)t\;t\;のとりうる値の範囲は,−14□≤t≤15□\;-\sqrt{{}^{14}\Box}\le\;t\;\le\sqrt{{}^{15}\Box}\;である。

(2)f(x)\;f(x)\;をt\;t\;の式で表すとt3−16□t2−17□t+18□+a\;t^3-\;{}^{16}\Box\;t^2-\;{}^{17}\Box\;t+\;{}^{18}\Box\;+a\;である。

(3)f(x)\;f(x)\;が最小となるのはx=19□20□π\;x=\frac{\;{}^{19}\Box}{\;{}^{20}\Box}\pi\;のときである。また,f(x)\;f(x)\;の最小値が0\;0\;となるのは
a=21□+22□23□\;a=\;{}^{21}\Box\;+\;{}^{22}\Box\;\sqrt{\;{}^{23}\Box}\;のときである。

(4)f(x)\;f(x)\;の最大値が0\;0\;となるのはa=24□−25□26□\;a=\;{}^{24}\Box\;-\;{}^{25}\Box\;\sqrt{\;{}^{26}\Box}\;のときである。

(5)a=5\;a=5\;のとき,f(x)=0\;f(x)=0\;の解は,小さい方から順にx=27□,28□29□π\;x=\;{}^{27}\Box\;,\frac{\;{}^{28}\Box}{\;{}^{29}\Box}\pi\;である。

基礎的な三角関数を置き換えて3次関数にして最大最小を解く問題。この手の問題では定義域を常に意識しておくのがポイント。無理数を代入して極値を求める場合は、元の関数を導関数で割って余りを考えることで割と簡単に解ける。

解答

解説
(1)
t=sinx+cosx\;t=\;sin\;x+cos\;x\;を正弦で合成すると
t=2sin(x+π4),0≤x<2π\;t=\sqrt{2}sin\;(x+\frac{\pi}{4}\;)\;,\;0\le\;x\;<2\pi\;よりπ4≤x+π4<94π\;\frac{\pi}{4}\le\;x+\frac{\pi}{4}\;<\frac{9}{4}\pi
−1≤sin(x+π4)≤1→−2≤t≤2\;-1\le\;sin\;(x+\frac{\pi}{4}\;) \le 1\; \rightarrow \; – \sqrt{2} \; \le \; t \; \le \sqrt{2} \;

(2)
t2=sin2x+2sinxcosx+cos2x\; t^2 =\;sin^2\;x + 2\;sin\;x\; cos\;x\;+\;cos^2\;x\;
→2sinxcosx=t2−1\;\rightarrow \;2\; sin\;x \;cos\;x =t^2-1\;
f(x)=(sinx+cosx)(2sinxcosx−5)−6sinxcosx+a\;f(x)=(\;sin\;x + cos\;x)(2\;sin\;x\;cos\;x\;-5)-6\;sin\;x\;cos\;x\;+a
　　＝t(t2−1−5)−3(t2−1)+a　　\;＝t(t^2-1-5)-3(t^2-1)+a\;
　　=t3−3t2−6t+3+a　　=t^3-3t^2-6t+3+a\;

(3)
f′(x)=3t2−6t−6=3(t2−2t−2)\;f'(x)=3t^2-6t-6=3(t^2-2t-2)\;
f′(x)=0\;f'(x)=0\;となるt\;t\;はt=1±3\;t=1\pm\sqrt{3}\;
f(x)=g(t)=t3−3t2−6t+3+a\;f(x)=g(t)=t^3-3t^2-6t+3+a\;とする。
g(t)\;g(t)\;の−2≤t≤2\; – \sqrt{2} \le \; t \; \le \sqrt{2} \;における増減表は
x−2⋯1−3⋯2g′+0−g↗↘\begin{array}{c|c} \;x&-\sqrt{2} &\cdots& 1-\sqrt{3} &\cdots &\sqrt{2} \\ \hline \;g’ & &+&0&-\\\hline \;g& &\nearrow & & \searrow \end{array}
ここで,
g(−2)=42−3+a,\;g(-\sqrt{2})=4\sqrt{2}-3+a\;,
g(2)=−42−3+a\;g(\sqrt{2})=-4\sqrt{2}-3+a\;より
f(x)\;f(x)\;はt=2\;t=\sqrt{2}\;のとき最小値
−42−3+a\;-4\sqrt{2}-3+a\;をとる。
このとき,2sin(x+π4)=2→x+π4=π2\;\sqrt{2}sin\;(x+\frac{\pi}{4}\;)=\sqrt{2}\;\rightarrow\;x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\;
→x=14π\;\rightarrow\;x=\frac{1}{4}\pi\;
最小値−42−3+a\;-4\sqrt{2}-3+a\;が0\;0\;となるa\;a\;の値は,a=3+42\;a=3+4\sqrt{2}\;

(4)
(3)より,f(x)\;f(x)\;はt=1−3\;t=1-\sqrt{3}\;で最大値をとる。
ここで,g(t)\;g(t)\;をg′(t)\;g'(t)\;で割ると
g(t)=t3−3t2−6t+3+a\;g(t)=t^3-3t^2-6t+3+a\;
　　=(3t2−6t−6)(13t−13)−6t+1+a　　=(3t^2-6t-6)(\frac{1}{3}t-\frac{1}{3})-6t+1+a\;
　　=g′(t)(13t−13)−6t+1+a　　=g'(t)(\frac{1}{3}t-\frac{1}{3})-6t+1+a\;
特に,g′(1−3)=0\;g'(1-\sqrt{3})=0\;なので,
g(t)\;g(t)\;はt=1−3\;t=1-\sqrt{3}\;のとき最小値
g(1−3)=−6(1−3)+1+a\;g(1-\sqrt{3})=-6(1-\sqrt{3})+1+a\;
=−5+63+a\;=-5+6\sqrt{3}+a\;をとり,
これが0\;0\;となるのはa=5−63\;a=5-6\sqrt{3}\;

(5)
a=5\;a=5\;のとき
f(x)=g(t)=t3−3t2−6t+8\;f(x)=g(t)=t^3-3t^2-6t+8\;
=(t−1)(t2−2t−8)=(t−1)(t−4)(t+2)\;=(t-1)(t^2-2t-8)=(t-1)(t-4)(t+2)\;
f(x)=0→(t−1)(t−4)(t+2)=0\;f(x)=0\rightarrow(t-1)(t-4)(t+2)=0\;
→t=−2,1,4\;\rightarrow\;t=-2,1,4\;
−2≤t≤2\; – \sqrt{2} \le \; t \; \le \sqrt{2} \;より,
t=1→2sin(x+π4)=1\;t=1\rightarrow\;\sqrt{2}sin\;(x+\frac{\pi}{4}\;)=1\;
→sin(x+π4)=12\;\rightarrow\;sin\;(x+\frac{\pi}{4}\;)=\frac{1}{\sqrt{2}}\;
π4≤x+π4<94π\;\frac{\pi}{4}\le\;x+\frac{\pi}{4}\;<\frac{9}{4}\pi\;より
x+π4=π4,34π→x=0,12π\;x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\;,\frac{3}{4}\pi\;\rightarrow\;x=0,\;\frac{1}{2}\pi\;

解答
14,15:22(5点)　16,17,18:363(5点)
19,20:14(5点)　21,22,23:342(5点)
24,25,26:563(6点)　　27,28,29:021(7点)