近畿大2025 A日程 2/14法/経営/文芸/短期第3問

2025文系数学近畿大

問題

第3問
n\;n\;は自然数とする。2つの変量x,y\;x,y\;について,それぞれ2n\;2n\;個のデータが
xk=2k−1,yk=4[k2](k=1,2,3,…,2n)\;x_k=2k-1,\;y_k=4\left[\frac{k}{2}\right]\;(k=1,\;2,\;3,\dots,\;2n)\;であるとする。
ここで,[z]\;\left[z\right]\;は実数z\;z\;を超えない最大の整数である。例えば,[3]=3,[3.5]=3\left[3\right]=3,\;\left[3.5\right]=3\;である。

(1)n=10\;n=10\;とする。
　(i) 変量x\;x\;のデータの平均値は,30□31□\;,{}^{30}\Box\;{}^{31}\Box\;であり,分散は32□33□34□\;{}^{32}\Box\;{}^{33}\Box\;{}^{34}\Box\;である。
　(ii)変量y\;y\;のデータの平均値は,35□36□\;,{}^{35}\Box\;{}^{36}\Box\;であり,分散は37□38□39□\;{}^{37}\Box\;{}^{38}\Box\;{}^{39}\Box\;である。

(2)変量x\;x\;のデータの平均値x‾\;\bar{x}\;と分散sx2\;s_x^2\;をそれぞれn\;n\;で表すと,
x‾=40□n,sx2=41□42□n2−43□44□\;\bar{x}={}^{40}\Box\;n,\;s_x^2=\frac{{}^{41}\Box}{{}^{42}\Box}n^2-\frac{{}^{43}\Box}{{}^{44}\Box}\;である。

(3)変量y\;y\;のデータの平均値y‾\;\bar{y}\;と分散sy2\;s_y^2\;をそれぞれn\;n\;で表すと,
y‾=45□n,sy2=46□47□n2−48□49□\;\bar{y}={}^{45}\Box\;n,\;s_y^2=\frac{{}^{46}\Box}{{}^{47}\Box}n^2-\frac{{}^{48}\Box}{{}^{49}\Box}\;である。

(4)新たな変量e\;e\;について,2n\;2n\;個のデータがek=yk−xk(k=1,2,⋯,2n)\;e_k=\;y_k-x_k\;(k=1,2,\cdots,2n)\;であるとする。
このとき,変量e\;e\;のデータの平均値は50□\;{}^{50}\Box\;であり,分散は51□\;{}^{51}\Box\;である。

問題の入りがガウス記号で一見取り組みにくそうに感じるかもしれないが、基本的なデータの分析についての問題。ガウス記号に関しては、イメージがわかない場合列挙して考えると良い。分散に関しては定義に従うのではなく、2乗平均をうまく用いて解くほうが良い。

解答・解説

解説
(1)
(i)x\;x\;の平均をx‾\;\bar{x}\;とする。
x‾=120∑k=120(2k−1)=120{2⋅12⋅20⋅21−20}\;\bar{x}=\displaystyle\frac{1}{20}\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(2k-1)=\displaystyle\frac{1}{20}\{2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot20\cdot21-20\}\;
　=120⋅400=20=\displaystyle\frac{1}{20}\cdot400=20\;
x\;x\;の平均をsx2\;s^2_x\;,x\;x\;の2乗平均をx2‾\;\bar{x^2}\;とする。
x2‾=120∑k=120(2k−1)2\;\bar{x^2}=\displaystyle\frac{1}{20}\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(2k-1)^2\;
　=120∑k=120(4k2−4k+1)\;=\displaystyle\frac{1}{20}\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(4k^2-4k+1)\;\;
　=120(4⋅16⋅20⋅21⋅41−4⋅12⋅20⋅21+20)\;=\displaystyle\frac{1}{20}(4\cdot\displaystyle\frac{1}{6}\cdot20\cdot21\cdot41-4\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 20 \cdot 21 +20)\;
　=120(11480−840+20)=120⋅10660\;=\displaystyle \frac {1} {20} (11480-840+20) = \displaystyle \frac{1}{20} \cdot 10660\;
　=533\;=533\;
sx2=x2‾−{x‾}2=533−202=133\;s^2_x = \bar {x^2} – \{\bar {x}\} ^2 = 533-20^2 = 133\;

(ii)yk=4[k2],[k2]\;y_k=4 \left [ \displaystyle \frac{k}{2} \right]\;, \left [\displaystyle \frac{k}{2} \right]\;をk=1,2,,,2n\;k=1,2,,,2n\;で列挙すると,
[12]=0,[22]=1,[32]=1,⋯\;\left [ \displaystyle \frac{1}{2} \right] =0\;,\left [ \displaystyle \frac{2}{2} \right]=1\;,\;\left [ \displaystyle \frac{3}{2} \right]=1\;,\cdots \;に注意して
0,1,1,2,2,⋯,9,9,10\;0,1,1,2,2, \cdots ,9,9,10\;
y\;y\;の平均をy‾\;\bar{y}\;とすると,
y‾=4⋅120{0+2(1+2+⋯+9)+10}\;\bar {y} = 4\cdot \displaystyle \frac {1}{20} \{0+2(1+2+ \cdots +9)+10\}\;
　=15⋅(2⋅12⋅9⋅10+10)=20= \displaystyle \frac {1} {5} \cdot (2 \cdot\displaystyle \frac {1} {2} \cdot 9 \cdot 10 + 10) = 20\;
y\;y\;の平均をy2‾\;\bar{y^2}\;とすると,
y2‾=42⋅120(02+2(12+22+⋯+92)+102)\;\bar {y^2} = 4^2 \cdot \displaystyle \frac {1}{20} (0^2+2(1^2+2^2+ \cdots +9^2)+10^2)\;
　=45(2⋅16⋅9⋅10⋅19+100)=536\;=\displaystyle \frac{4}{5} (2 \cdot \displaystyle \frac{1}{6} \cdot 9 \cdot 10 \cdot 19 + 100) = 536\;
sx2=y2‾−{y‾}2=536−202=136\;s_x^2=\bar {y^2} – \{\bar {y}\} ^2 = 536-20^2=136\;

(2)
(1)と同様に考える。
x‾=12n∑k=12n(2k−1)\;\bar{x}=\displaystyle\frac{1}{2n}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(2k-1)\;
　=12n{2⋅12⋅2n⋅(2n−1)−2n}=\displaystyle \frac {1} {2n} \{ 2\cdot \displaystyle \frac {1} {2} \cdot 2n \cdot (2n-1)-2n\}\;
　=2n+1−1=2n=2n+1-1 = 2n\;
x‾=12n∑k=12n(2k−1)2=12n∑k=12n(4k2−4k+1)\;\bar{x}=\displaystyle\frac{1}{2n}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(2k-1)^2=\displaystyle\frac{1}{2n}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(4k^2-4k+1)\;\;
　=12n{4⋅16⋅2n(2n+1)(4n+1)−4⋅12⋅2n⋅(2n+1)+2n}=\displaystyle\frac{1}{2n}\{4\cdot \displaystyle \frac {1} {6} \cdot 2n (2n+1)(4n+1)-4 \cdot \displaystyle \frac {1} {2} \cdot 2n \cdot (2n+1) +2n \}\;
　＝23(2n+1)(4n+1)−2(2n+1)+1＝\displaystyle \frac {2} {3} (2n+1)(4n+1)-2(2n+1)+1\;
　=23(8n2+6n+1)−4n−2+1=\displaystyle \frac {2} {3}(8n^2+6n+1)-4n-2+1\;
　=163n2−13=\displaystyle \frac {16} {3}n^2-\displaystyle \frac {1} {3}\;
sx2=x2‾−{x‾}2\;s_x^2= \bar {x^2} – \{\bar {x}\} ^2 \;
　=(163n2−13)−(2n)2=43n2−13=( \displaystyle \frac {16} {3}n^2-\displaystyle \frac {1} {3} )-(2n)^2 = \displaystyle \frac {4} {3}n^2-\displaystyle \frac {1} {3} \;

(3)
(1)と同様に考える。
[k2]\;\left [\displaystyle \frac{k}{2} \right]\;について,k=1,2,,,2n\;k=1,2,,,2n\;で列挙すると,
0,1,1,2,2,⋯,n−1,n−1,n\;0,1,1,2,2, \cdots ,n-1,n-1,n \;
y‾=4⋅12n{0+2(1+2+⋯+n−1)+n}\;\bar {y} = 4\cdot \displaystyle \frac {1}{2n} \{0+2(1+2+ \cdots +n-1)+n\}\;
　=4⋅12n{2⋅12⋅(n−1)⋅n+n)=4\cdot \displaystyle \frac {1}{2n} \{ 2\cdot \displaystyle \frac {1}{2} \cdot (n-1) \cdot n + n)\;
　=2n(n2−n+n)=2n=\displaystyle \frac {2}{n} (n^2-n + n) = 2n\;
y2‾=42⋅12n{02+2(12+22+⋯+(n−1)2)+n2}\;\bar {y^2} = 4^2 \cdot \displaystyle \frac {1}{2n} \{0^2+2(1^2+2^2+ \cdots +(n-1)^2)+n^2\;\}\;
　=8n{2⋅16⋅(n−1)⋅n⋅(2n−1)+n2}=\displaystyle \frac {8}{n} \{ 2 \cdot \displaystyle \frac {1}{6} \cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) + n^2 \}\;
　=8n{13(2n3−3n2+n)+n2}=\displaystyle \frac {8}{n} \{\;\displaystyle \frac {1}{3} (2n^3-3n^2+n)+n^2\}\;
　=163n2+83=\displaystyle \frac {16}{3}n^2 + \displaystyle \frac {8}{3}\;
sy2=y2‾−{y‾}2\;s_y^2= \bar {y^2} – \{\bar {y}\} ^2 \;
　=(163n2+83)−(2n)2=43n2+83=( \displaystyle \frac {16}{3}n^2 + \displaystyle \frac {8}{3} ) – (2n)^2 =\displaystyle \frac {4}{3}n^2 + \displaystyle \frac {8}{3}\;

(4)
yk:0,4,4,8,8,12,⋯4n−4,4n−4,4n\;y_k : 0,4,4,8,8,12, \cdots 4n-4,4n-4,4n \;
xk:1,3,5,7,9,11,⋯4n−5,4n−3,4n−1\;x_k : 1,3,5,7,9,11, \cdots 4n-5,4n-3,4n-1 \;
より
ek=yk−xk:−1,1,−1,1,⋯1,−1,1\;e_k = y_k-x_k : -1,1,-1,1, \cdots 1,-1,1 \;
なので,
e‾=0,e2‾=12n⋅2n⋅1=1\;\bar{e} =0 ,\; \bar{e^2} = \displaystyle \frac{1}{2n} \cdot 2n \cdot 1=1\;
se2=e2‾−{e‾}2=1\;s_e^2= \bar {e^2} – \{\bar {e}\} ^2 = 1\;

解答
30,31:20(4点)　32,33,34:133(4点)
35,36:20(4点)　37,38,39:136(4点)
40:2(2点)　41,42,43,44:4313(4点)
45:2(2点)　46,47,48,49:4383(4点)
50:0(3点)　51:1(3点)