近畿大2025 A日程 2/11理工/農/産業理工②理型第2問

2025理系数学近畿大

問題

第2問
1辺の長さが12\;\displaystyle \frac{1}{2}\;の正四面体OABCにおいて,辺OAを2:1に,辺OAを2:1に外分する点をD,辺OBを6:5に外分する点をE,辺OCを4:3に外分する点をFとする。

(1)OA→⋅OB→=ア□イ□\;\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{ {}^{\text{ア}} \Box} {{}^{\text{イ}}\Box}\;である。

(2)OD→=ウ□OA→,OE→=エ□OB→,OF→=オ□OC→\; \vec{OD} = {}^{\text{ウ}}\Box \vec{OA},\; \vec{OE}={}^{\text{エ}}\Box \vec{OB}, \;\vec{OF}= {}^{\text{オ}}\Box \vec{OC}\;である。

(3)DE=カ□,EF=キ□,FD=ク□\;DE= \sqrt{{}^{\text{カ}}\Box}, \;EF= \sqrt{{}^{\text{キ}}\Box}, \;FD=\sqrt{{}^{\text{ク}}\Box}\;である。

(4)△DEF\;\triangle{DEF}\;の面積はケ□コ□サ□\; \frac{ {}^{\text{ケ}} \Box \sqrt{{}^{\text{コ}}\Box}} {{}^{\text{サ}}\Box}\;であり,外接円の半径はシ□ス□\; \frac{ {}^{\text{シ}} \Box} {{}^{\text{ス}}\Box}\;である。

(5)△ABC\;\triangle{ABC}\;の重心をGとし,直線OG\;OG\;が平面DEF\;DEF\;と交わる点をPとするとき,OP→=セ□ソ□タ□チ□OG→\; \vec{OP}= \frac{ {}^{\text{セ}}\Box {}^{\text{ソ}}\Box } {{}^{\text{タ}}\Box {}^{\text{チ}}\Box} \vec{OG}\;である。

(6)四面体OABC,ODEFの体積をそれぞれU,Vとするとき,V=ツ□テ□U\;V= {}^{\text{ツ}}\Box {}^{\text{テ}}\Box \;U\;である。
また,四角錐D-BCEFの体積はト□ナ□ニ□ヌ□ネ□\;\frac { {}^{\text{ト}}\Box {}^{\text{ナ}}\Box \sqrt{{}^{\text{ニ}}\Box}} {{}^{\text{ヌ}}\Box {}^{\text{ネ}}\Box} \;である。

(3)までは基礎的なベクトルに関する問題。辺の長さに関しては,余弦定理を用いる図形的に考えるよりは,ベクトルの長さとして解くほうがやりやすい。(6)に関しては,具体的に体積を求めるというよりは,底面積と高さの比で体積比を考えたい。

解答・解説

解説
四面体OABCは長さ12\; \displaystyle \frac {1}{2}\;の正四面体。各三角形は正三角形。
(1)
OA→⋅OB→=|OA→||OB→|cos⁡60∘=12⋅12⋅12=18\; \vec {OA} \cdot \vec {OB}= | \vec {OA} ||\vec {OB}| \cos 60 ^\circ= \displaystyle { \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} }= \displaystyle \frac{1}{8} \;

(2)
D\;D \;はOA\;OA\;を2:1\; 2:1\;に外分するので,
OD→=2OA→\; \vec {OD}= 2 \vec {OA}\;
E\;E \;はOB\;OB\;を6:5\; 6:5\;に外分するので,
OE→=6OB→\; \vec {OE}= 6 \vec {OB}\;
D\;D \;はOA\;OA\;を2:1\; 2:1\;に外分するので,
OD→=2OA→\; \vec {OD}= 2 \vec {OA}\;

(3)
|OA→|=|OB→|=|OC→|=12\; |\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = \displaystyle\frac{1}{2}\;
OA→⋅OB→=OB→⋅OC→=OC→⋅OA→=18\; \vec{OA}\cdot \vec{OB} = \vec{OB}\cdot \vec{OC} = \vec{OC}\cdot \vec{OA} = \displaystyle \frac{1}{8}\;
DE→=OE→−OD→=6OB→−2OA→\; \vec{DE}= \vec{OE} – \vec{OD} = 6\vec{OB} – 2\vec{OA}\;
|DE→|2=4|3OB→−OA→|\; |\vec{DE}|^2= 4|3\vec{OB} – \vec{OA}| \;
=4(9⋅|OB→|2−6OA→⋅OB→+|OA→|2)\;= 4(9\cdot|\vec{OB}|^2- 6\vec{OA}\cdot\vec{OB} + |\vec{OA}|^2)\;
=4(94−34+14)=7\;=4(\displaystyle { \frac{9}{4} – \frac{3}{4} + \frac{1}{4} }) =7\;
DE=7\;DE= \sqrt{7}\;
EF→=OF→−OE→=4OC→−6OB→\; \vec{EF}= \vec{OF} – \vec{OE} = 4\vec{OC} – 6\vec{OB}\;
|EF→|2=4|2OC→−3OB→|\; |\vec{EF}|^2= 4|2\vec{OC} – 3\vec{OB}| \;
=4(4⋅|OC→|2−12OB→⋅OC→+9|OB→|2)\;= 4(4\cdot|\vec{OC}|^2- 12\vec{OB}\cdot\vec{OC} + 9|\vec{OB}|^2)\;
=4(94−64+14)=7\;=4(\displaystyle { \frac{9}{4} – \frac{6}{4} + \frac{1}{4} }) =7\;
EF=7\;EF= \sqrt{7}\;
FD→=OD→−OF→=2OA→−4OC→\; \vec{FD}= \vec{OD} – \vec{OF} = 2\vec{OA} – 4\vec{OC}\;
|FD→|2=4|OA→−2OC→|\; |\vec{FD}|^2= 4|\vec{OA} – 2\vec{OC}| \;
=4(|OA→|2−4OC→⋅OA→+4|OC→|2)\;= 4(|\vec{OA}|^2- 4\vec{OC}\cdot\vec{OA} + 4|\vec{OC}|^2)\;
=4(14−24+44)=3\;=4(\displaystyle { \frac{1}{4} – \frac{2}{4} + \frac{4}{4} }) =3\;
FD=3\;FD= \sqrt{3}\;

(4)
(3)より△DEF\;\triangle{DEF}\;はDE=EF\;DE=EF\;の二等辺三角形。点E\;E\;からDF\;DF\;に下ろした垂線の足を点H\;H\;とする。
三平方の定理より,
EH2=72−(32)2=254　EH=52\;EH^2=\sqrt{7}^2- (\displaystyle \frac{ \sqrt{3}}{2})^2 = \displaystyle \frac{25}{4}　\;EH=\displaystyle \frac{5}{2}\;
△DEF=12⋅DF⋅EH=12⋅3⋅52=534\;\triangle{DEF} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot DF \cdot EH = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \displaystyle \frac{5}{2} = \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}\;
sin⁡∠DEF\; \sin{\angle{DEF}}\;について,
534=12⋅7⋅7⋅sin⁡∠DEF\;\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \sin{\angle{DEF}} \;
→sin⁡∠DEF=5314\; \rightarrow \sin{\angle{DEF}} =\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}\;
正弦定理より,求める外接円の半径をRとすると
2R=DFsin∠DEF→2R=3⋅5314\;2R=\displaystyle \frac {DF}{sin{\angle{DEF}} } \;\rightarrow 2R= \sqrt{3} \cdot \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{14}\;
→R=75\; \rightarrow R= \displaystyle \frac{7}{5}\;

(5)
G\;G\;は△ABC\;\triangle{ABC}\;の重心。
OG→=13(OA→+OB→+OC→)\;\vec{OG} = \displaystyle \frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\;
P\;P\;はOG\;OG\;上なので,定数kを用いて
OP→=kOG→=k3(OA→+OB→+OC→)\;\vec{OP} =k\vec{OG}= \displaystyle \frac{k}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\;
(2)より,
OA→=12OD→,OB→=16OF→,OC→=14OF→\;\vec{OA}= \displaystyle \frac{1}{2} \vec{OD}\;,\vec{OB}= \displaystyle \frac{1}{6} \vec{OF}\;,\vec{OC}= \displaystyle \frac{1}{4} \vec{OF}\;
つまり,
OG→=k3(12OD→+16OE→+14OF→)\;\vec{OG} = \displaystyle \frac{k}{3}( \displaystyle \frac{1}{2}\vec{OD}+ \displaystyle \frac{1}{6}\vec{OE}+ \displaystyle \frac{1}{4}\vec{OF})\;
=k6OD→+k18OE→+k12OF→\;=\displaystyle \frac{k}{6}\vec{OD}+ \displaystyle \frac{k}{18}\vec{OE}+ \displaystyle \frac{k}{12}\vec{OF}\;
P\;P\;は平面DEF\;DEF\;上より,
k6+k18+k12=1→k=3611\;\displaystyle \frac{k}{6} + \displaystyle \frac{k}{18} + \displaystyle \frac{k}{12} = 1 \rightarrow k= \displaystyle \frac{36}{11}\;
OP→=3611OG→\;\vec{OP}= \displaystyle \frac{36}{11} \vec{OG}\;

(6)
OABC,ODEF\;OABC,ODEF\;はそれぞれ底面を△OBC,△OEF\;\triangle{OBC},\triangle{OEF}\;で考える。
EF\;EF\;の中点をM\;M\;とするとき,対称性よりA,D\;A,D\;からそれぞれ△OBC,△OEF\;\triangle{OBC},\triangle{OEF}\;に下ろした垂線の足H1,H2\;H_1,H_2\;はOM\;OM\;上にある。
平行線と比の関係から,
AH1:PH2=OA:OD=1:2\;AH_1:PH_2=OA:OD=1:2\;
→DH2=2AH1\;\rightarrow DH_2=2AH_1\;
△OBC,△OEF\;\triangle{OBC},\triangle{OEF}\;の面積について,
△OBC=12|OB→||OC→|\;\triangle{OBC}= \displaystyle \frac{1}{2} \; |\vec{OB}||\vec{OC}|\;
△OEF=12|OE→||OF→|=12⋅4|OB→|⋅6|OC→|\;\triangle{OEF}=\displaystyle \frac{1}{2} \; |\vec{OE}||\vec{OF}| = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot4|\vec{OB}|\cdot 6|\vec{OC}|\;
=24△OBC\;=24\triangle{OBC}\;
よって,U=13⋅△OBC⋅AH1\;U= \displaystyle \frac{1}{3} \cdot \triangle{OBC} \cdot AH_1\;
V=13⋅△OEF⋅DH2=13⋅24△OBC⋅2AH1\;V= \displaystyle \frac{1}{3} \cdot \triangle{OEF} \cdot DH_2 = \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 24\triangle{OBC} \cdot 2AH_1\;
=48U\;=48U\;
四角錐D−BCFE\;D-BCFE\;について,低面積をBCFE\;BCFE\;,高さをDH2\;DH_2\;で考える。
特に,BCFE=△OEF−△OBC=23△OBC\;BCFE=\triangle{OEF}-\triangle{OBC}=23\triangle{OBC}\;
なので,求める体積をW\;W\;とすると
W=13⋅DH2⋅23△OBC\;W=\displaystyle \frac{1}{3} \cdot DH_2 \cdot 23\triangle{OBC}\;
=13⋅2AH1⋅23△OBC=46U\;=\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 2AH_1 \cdot 23\triangle{OBC}=46U\;
正四面体OABC\;OABC\;について,
△ABC=12⋅12⋅12⋅sin⁡60=316\;\triangle{ABC}= \displaystyle { \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} } \cdot \sin{60}= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{16}\;
O\;O\;からABC\;ABC\;に下ろした垂線の足をH3\;H_3\;として,H3\;H_3\;が△ABC\;\triangle{ABC}\;の外心かつ重心であることから,
AH3=23⋅34=36\;AH_3= \displaystyle { \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}\;
三平方の定理より,
OH3=14−336=16\;OH_3=\sqrt{ \displaystyle{\frac{1}{4}-\frac{3}{36}}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{6}}\;
U=13⋅316⋅16=296\;U=\displaystyle { \frac{1}{3} \cdot \frac{ \sqrt{3}}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{96}\;
W=46U=46296=23248\;W=46U= \displaystyle \frac{46\sqrt{2}}{96} = \displaystyle \frac{23\sqrt{2}}{48}\;

解答
アイ:18(3点)　ウ:2(2点)　エ:6(2点)
オ:4(2点)　カ:7(3点)　キ:7(3点)
ク:3(3点)　ケコサ:534(3点)　シス:75(3点)
セソタチ:3611(4点)　ツテ:48(3点)
トナニヌネ:23248(4点)