近畿大2025 B日程 2/11理工/農/産業理工②理型第3問

2026.03.27
2025理系数学近畿大

問題

第3問
定積分In=∫01(1−x2)n−12dx,\;I_n=\displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^{n- \frac{1}{2}} \;dx,\;
Jn=∫01xn(1−x2)12dx(n=1,2,3,⋯)J_n= \displaystyle \int^1_0 x^n (1-x^2)^{\frac{1}{2}} \;dx\;(n=1,2,3,\cdots)\;を考える。

(1)x1−x2\;x \sqrt{1-x^2}\;の原始関数の1つは,ア□イ□ウ□(1−x2)エ□オ□\;\frac{ {}^{\text{ア}}\Box {}^{\text{イ}}\Box} {{}^{\text{ウ}}\Box}\;(1-x^2)^{\frac{{}^{\text{エ}}\Box}{{}^{\text{オ}}\Box}}\;である。

(2)I1=カ□キ□π,J1=ク□ケ□\;I_1= \frac{ {}^{\text{カ}}\Box}{{}^{\text{キ}}\Box}\; \pi,\; J_1=\frac{ {}^{\text{ク}}\Box}{{}^{\text{ケ}}\Box} \;である。

(3)(x)′=1\;(x)’=1\;に注意して部分積分法を用いたのち,x2=−(1−x2)+1\;x^2=-(1-x^2)+1\;を用いると,
I2=コ□サ□I1,I3=シ□ス□I2,I4=セ□ソ□I3\;I_2= \frac{ {}^{\text{コ}}\Box}{{}^{\text{サ}}\Box}\;I_1,\; I_3= \frac{ {}^{\text{シ}}\Box}{{}^{\text{ス}}\Box}\;I_2,\;I_4= \frac{ {}^{\text{セ}}\Box}{{}^{\text{ソ}}\Box}\;I_3\;である。
また,limn→∞⁡(In+1In)n=eタ□チ□ツ□\displaystyle \lim_{n\to \infty} (\;\frac{I_{n+1}}{I_n})^n=e^{\frac{ {}^{\text{タ}}\Box{}^{\text{チ}}\Box }{{}^{\text{ツ}}\Box}}\;である。ただし,eは自然対数の底である。

(4)n+テ□n+ト□Jn(n=1,2,3,⋯)\; \displaystyle\frac{n+{}^{\text{テ}}\Box}{n+{}^{\text{ト}}\Box} \;J_n\;(n=1,2,3,\cdots)\;である。
また,Jn>0.1\;J_n>0.1\;を満たす最大の自然数nの値は,ナ□\;{}^{\text{ナ}}\Box\;である。ただし,3.1<π<3.2\;3.1<\pi<3.2\;である。

積分漸化式の問題。(1),(2)までは基礎的なので丁寧に計算すれば良い。(3)は誘導に乗りながら部分積分、それから自然対数の底eの定義を意識しながら極限を考えれば良い。部分積分を繰り返して漸化式の形に持ち込むのは積分漸化式の定石なので、解けるようにしたい。全体的に計算量が多いので、時間がかかると思われる。

解答・解説

解説
(1)
t=1−x2\;t=1-x^2\;として,dt=(−2x)dx\;dt=(-2x) dx\;より
∫x1−x2dx=∫t⋅(−12)dt\; \displaystyle \int x\sqrt{1-x^2}dx = \displaystyle \int \sqrt{t} \cdot(\displaystyle -\frac{1}{2}) dt \;
=−12⋅23t32=−13(1−x2)32\;=\displaystyle -\frac{1}{2} \cdot \displaystyle \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} = \displaystyle -\frac{1}{3} (1-x^2)^{\frac{3}{2}}\;

(2)
I1=∫01(1−x2)12dx=∫011−x2dx\;I_1= \displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \; dx =\displaystyle \int ^1_0\sqrt{1-x^2}dx\;
中心原点,半径1の円の面積を考えることで,
I1=14⋅12⋅π=14π\;I_1 = \displaystyle \frac{1}{4} \cdot 1^2\cdot \pi = \displaystyle \frac{1}{4} \pi\;
(1)より
J1=∫01x1−x2dx\;J_1 = \displaystyle \int^1_0 x\sqrt{1-x^2}dx
=[−13(1−x2)32]01=13\;=[\displaystyle -\frac{1}{3} (1-x^2)^{\frac{3}{2}} ]^1_0 =\displaystyle \frac{1}{3}\;

(3)
I2=∫01(1−x2)32dx=∫01(x)′(1−x2)32dx\;I_2= \displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx = \displaystyle \int^1_0 (x)’ (1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx\;
=[x(1−x2)32]01−∫0132⋅x⋅(−2x)⋅(1−x2)12dx\;=[ x(1-x^2)^ {\frac{3}{2}}]^1_0 – \displaystyle \int^1_0 \displaystyle \frac{3}{2} \cdot x \cdot (-2x)\cdot(1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \; dx\;
=3∫01x2(1−x2)12dx\;=3\displaystyle \int^1_0 x^2(1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \; dx\;
=3∫01{1−(1−x2)}(1−x2)12dx\;=3\displaystyle \int^1_0 \{1-(1-x^2)\}(1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \; dx\;
=3∫01(1−x2)12dx−3∫01x2(1−x2)32dx\;=3\displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \; dx – 3\displaystyle \int^1_0 x^2(1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx\;
→I2=3I1−3I2→I2=34I1\;\rightarrow I_2=3I_1-3I_2\; \rightarrow I_2= \displaystyle \frac{3}{4} I_1\;

I3=∫01(1−x2)52dx=∫01(x)′(1−x2)52dx\;I_3= \displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{5}{2}} \; dx = \displaystyle \int^1_0 (x)’ (1-x^2)^ {\frac{5}{2}} \; dx\;
=[x(1−x2)52]01−∫0152⋅x⋅(−2x)⋅(1−x2)32dx\;=[ x(1-x^2)^ {\frac{5}{2}}]^1_0 – \displaystyle \int^1_0 \displaystyle \frac{5}{2} \cdot x \cdot (-2x)\cdot(1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx\;
=5∫01x2(1−x2)32dx\;=5\displaystyle \int^1_0 x^2(1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx\;
=5∫01{1−(1−x2)}(1−x2)32dx\;=5\displaystyle \int^1_0 \{1-(1-x^2)\}(1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx\;
=5∫01(1−x2)32dx−5∫01x2(1−x2)52dx\;=5\displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx – 5\displaystyle \int^1_0 x^2(1-x^2)^ {\frac{5}{2}} \; dx\;
→I3=5I2−5I3→I3=56I2\;\rightarrow I_3=5I_2-5I_3\; \rightarrow I_3= \displaystyle \frac{5}{6} I_2\;

I4=∫01(1−x2)72dx=∫01(x)′(1−x2)72dx\;I_4= \displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{7}{2}} \; dx = \displaystyle \int^1_0 (x)’ (1-x^2)^ {\frac{7}{2}} \; dx\;
=[x(1−x2)72]01−∫0172⋅x⋅(−2x)⋅(1−x2)52dx\;=[ x(1-x^2)^ {\frac{7}{2}}]^1_0 – \displaystyle \int^1_0 \displaystyle \frac{7}{2} \cdot x \cdot (-2x)\cdot(1-x^2)^ {\frac{5}{2}} \; dx\;
=7∫01x2(1−x2)52dx\;=7\displaystyle \int^1_0 x^2(1-x^2)^ {\frac{5}{2}} \; dx\;
=7∫01{1−(1−x2)}(1−x2)52dx\;=7\displaystyle \int^1_0 \{1-(1-x^2)\}(1-x^2)^ {\frac{5}{2}} \; dx\;
=7∫01(1−x2)52dx−7∫01x2(1−x2)72dx\;=7\displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{5}{2}} \; dx – 7\displaystyle \int^1_0 x^2(1-x^2)^ {\frac{7}{2}} \; dx\;
→I4=7I3−7I4→I4=78I3\;\rightarrow I_4=7I_3-7I_4\; \rightarrow I_4= \displaystyle \frac{7}{8} I_3\;

上と同様にして,
In+1=∫01(1−x2)2n+12dx=∫01(x)′(1−x2)2n+12dx\;I_{n+1}= \displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{2n+1}{2}} \; dx = \displaystyle \int^1_0 (x)’ (1-x^2)^ {\frac{2n+1}{2}} \; dx\;
=[x(1−x2)2n+12]01−∫012n+12⋅x⋅(−2x)⋅(1−x2)2n−12dx\;=[ x(1-x^2)^ {\frac{2n+1}{2}}]^1_0 – \displaystyle \int^1_0 \displaystyle \frac{2n+1}{2} \cdot x \cdot (-2x)\cdot(1-x^2)^ {\frac{2n-1}{2}} \; dx\;
=(2n+1)∫01x2(1−x2)2n−12dx\;=(2n+1)\displaystyle \int^1_0 x^2(1-x^2)^ {\frac{2n-1}{2}} \; dx\;
=(2n+1)∫01{1−(1−x2)}(1−x2)2n−12dx\;=(2n+1)\displaystyle \int^1_0 \{1-(1-x^2)\}(1-x^2)^ {\frac{2n-1}{2}} \; dx\;
=(2n+1)∫01(1−x2)2n−12dx−(2n+1)∫01x2(1−x2)2n+12dx\;=(2n+1)\displaystyle \int^1_0 (1-x^2)^ {\frac{2n-1}{2}} \; dx – (2n+1)\displaystyle \int^1_0 x^2(1-x^2)^ {\frac{2n+1}{2}} \; dx\;
→In+1=(2n+1)In−(2n+1)In+1\;\rightarrow I_{n+1}=(2n+1)I_n-(2n+1)I_{n+1}\;
→In+1=2n+12n+2In→In+1In=2n+12n+2\;\rightarrow I_{n+1}= \displaystyle \frac{2n+1}{2n+2} I_n\; \rightarrow \displaystyle \frac{I_{n+1}}{I_n}= \displaystyle \frac{2n+1}{2n+2}\;
(In+1In)n=(2n+12n+2)n=(1−12n+2)n\;(\displaystyle \frac{I_{n+1}}{I_n})^n = (\displaystyle \frac{2n+1}{2n+2})^n = (1-\displaystyle \frac{1}{2n+2})^n\;
1−2(n+1)=t\;\displaystyle \frac{1}{-2(n+1)} = t\;とする。n=−1−12t\;n=-1-\displaystyle \frac{1}{2t}\;
n→∞\;n\rightarrow \infty\;のとき,t→−0\;t \rightarrow -0\;
limn→∞⁡(In+1In)n=limt→−0⁡(1+t)−12t−1\;\displaystyle \lim_{n\to \infty} (\displaystyle \frac{I_{n+1}}{I_n})^n = \displaystyle \lim_{t\to -0} (1+t)^{-\frac{1}{2t}-1}\;
=limt→−0⁡(1+t)−12t⋅(1+t)−1\;=\displaystyle \lim_{t\to -0} (1+t)^{-\frac{1}{2t}} \cdot(1+t)^{-1}\;
=limt→−0⁡{(1+t)1t}−12⋅(1+t)−1\;=\displaystyle \lim_{t\to -0} \{(1+t)^{\frac{1}{t}}\}^{-\frac{1}{2}} \cdot(1+t)^{-1}\;
eは自然対数の底なので,定義より
limt→−0⁡(1+t)1t=e\;\displaystyle \lim_{t\to -0} (1+t)^{\frac{1}{t}}=e\;より
求める極限は,e−12\;e^{\frac{-1}{2}}\;

(4)
部分積分を行う。
Jn+2=∫01xn+2(1−x2)12dx\;J_{n+2}= \displaystyle \int^1_0 x^{n+2} (1-x^2)^{\frac{1}{2}} \;dx \;
=∫01xn+1⋅x(1−x2)12dx\;= \displaystyle \int^1_0 x^{n+1} \cdot x(1-x^2)^{\frac{1}{2}} \;dx\:
=∫01xn+1⋅(−13(1−x2)32)′dx\;= \displaystyle \int^1_0 x^{n+1} \cdot (-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}})^{‘} \;dx\;
=[−13⋅xn+1(1−x2)32]01−∫01−n+13xn(1−x2)32dx\;=[ -\frac{1}{3}\cdot x^{n+1}(1-x^2)^ {\frac{3}{2}}]^1_0 – \displaystyle \int^1_0 \displaystyle -\frac{n+1}{3} x^n (1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx\;
=n+13∫01xn(1−x2)32dx\;= \displaystyle \frac{n+1}{3} \displaystyle \int^1_0 x^n (1-x^2)^ {\frac{3}{2}} \; dx\;
=n+13∫01xn(1−x2)(1−x2)12dx\;= \displaystyle \frac{n+1}{3} \displaystyle \int^1_0 x^n (1-x^2)(1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \; dx\;
=n+13∫01{xn(1−x2)12−xn⋅x2⋅(1−x2)12}dx\;= \displaystyle \frac{n+1}{3} \displaystyle \int^1_0 \{x^n (1-x^2)^{\frac{1}{2}}-x^n \cdot x^2 \cdot(1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \} \; dx\;
=n+13∫01xn(1−x2)12dx−n+13∫01xn+2(1−x2)12dx\;= \displaystyle \frac{n+1}{3} \displaystyle \int^1_0 x^n (1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \; dx\; – \displaystyle \frac{n+1}{3} \displaystyle \int^1_0 x^{n+2} (1-x^2)^ {\frac{1}{2}} \; dx\;
=n+13Jn−n+13Jn+2\;=\displaystyle \frac{n+1}{3} J_n-\displaystyle \frac{n+1}{3}J_{n+2}\;
→Jn+2=n+13Jn−n+13Jn+2\;\rightarrow J_{n+2}=\displaystyle \frac{n+1}{3} J_n-\displaystyle \frac{n+1}{3}J_{n+2}\;
→n+43Jn+2=n+13Jn\;\rightarrow \displaystyle \frac{n+4}{3} J_{n+2}=\displaystyle \frac{n+1}{3}J_n\;
→Jn+2=n+1n+4Jn\;\rightarrow J_{n+2}=\displaystyle \frac{n+1}{n+4}J_n\;
nが奇数のとき,
J1=13,J3=25⋅13=215>0.1\;J_1= \displaystyle \frac{1}{3} \;, J_3= \displaystyle \frac{2}{5} \cdot \displaystyle \frac{1}{3}=\displaystyle \frac{2}{15}>0.1 \;
J5=47⋅215=8105<0.1\;J_5=\displaystyle \frac{4}{7} \cdot \displaystyle \frac{2}{15} =\displaystyle \frac{8}{105} <0.1\;
nが偶数のとき,
J2=∫01x2(1−x2)12dx\;J_2= \displaystyle \int ^1_0 x^2(1-x^2)^{\frac{1}{2}} \;dx\;
=∫01{1−(1−x2)}(1−x2)12dx\;= \displaystyle \int ^1_0 \{1-(1-x^2)\}(1-x^2)^{\frac{1}{2}} \;dx\;
=∫01(1−x2)12dx−=∫01(1−x2)32dx\;= \displaystyle \int ^1_0 (1-x^2)^{\frac{1}{2}} \;dx -= \displaystyle \int ^1_0 (1-x^2)^{\frac{3}{2}} \;dx\;
=I1−I2=I1−34I1=14I1=π16\;=I_1-I_2=I_1- \displaystyle \frac{3}{4} I_1=\displaystyle \frac{1}{4} I_1 =\displaystyle \frac{\pi}{16}\;
3.1<π<3.2\;3.1<\pi<3.2\;より,3.116<π16<3.216\;\displaystyle \frac{3.1}{16}<\displaystyle \frac{\pi}{16}<\displaystyle \frac{3.2}{16}\;
→0.1<π16\;\rightarrow 0.1<\displaystyle \frac{\pi}{16}\;つまりJ2=π16>0.1\;J_2=\displaystyle \frac{\pi}{16}>0.1\;
J4=36J2=π32<0.1\;J_4=\displaystyle \frac{3}{6}J_2=\displaystyle \frac{\pi}{32}<0.1\;
以上より,求める最大のnは3

解答
アイウ:-13(3点)　エオ:32(3点)
カキ:14(4点)　クケ:13(4点)
コサ:34(4点)　シス:56(4点)
セソ:78(4点)　タチツ:-12(4点)
テ:1(1点)　ト:4(1点)　ナ:3(3点)