第2問 問題
座標空間内に平行四辺形 \(ABCD\) があり、\(A(3, 0, 0)\), \(B(0, 4, 0)\), \(C(0, 0, 6)\) である。原点 \(O\) から平面 \(ABC\) に下ろした垂線を \(OH\) とする。
(1) 点 \(D\) の座標は \(({}^{21}\Box, -{}^{22}\Box, {}^{23}\Box)\) である。
(2) 四角錐 \(O-ABCD\) の体積は \({}^{24}\Box{}^{25}\Box\) である。
(3) 平行四辺形 \(ABCD\) の面積は \({}^{26}\Box\sqrt{{}^{27}\Box{}^{28}\Box}\) である。
(4) \(|\vec{OH}|^2=\frac{{}^{29}\Box{}^{30}\Box{}^{31}\Box}{{}^{32}\Box{}^{33}\Box}\) である。
(5) \(s, t, u\) を実数とし、\(\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}\) と表す。このとき、\(\vec{OH} \perp \vec{AB}\), \(\vec{OH} \perp \vec{AC}\) より \(s, t\) を \(u\) を用いて表すと、
\[s = {}^{34}\Box u, \quad t = \frac{{}^{35}\Box}{{}^{36}\Box}u\]
である。
(6) 点 \(H\) の\(x\)座標は \(\frac{{}^{37}\Box{}^{38}\Box}{{}^{39}\Box{}^{40}\Box}\)である。
第2問 解説
第2問は空間座標における平行四辺形と、原点から平面へ下ろした垂線を扱う問題です。ベクトルの「垂直＝内積0」という性質をいかに効率よく計算に組み込めるかが完答への分かれ道になります。
■ 問題のポイント
- 平行四辺形の座標: \(\vec{AD} = \vec{BC}\) の関係を利用します。
- 空間図形の体積: 底面が座標平面上にある四面体の体積公式 \(V = \frac{1}{6}|xyz|\) が便利です。
- 垂線の足の決定: 点Hが平面上にある条件 \(s + t + u = 1\) と、垂直条件を組み合わせます。
(1) 点Dの座標
四角形 \(ABCD\) は平行四辺形なので、\(\vec{AD} = \vec{BC}\) が成り立ちます。
点 \(D\) の座標を \((x, y, z)\) とすると、
\(\vec{AD} = (x – 3, y – 0, z – 0)\)
\(\vec{BC} = (0 – 0, 0 – 4, 6 – 0) = (0, -4, 6)\)
これらが等しいことから、\(x – 3 = 0, y = -4, z = 6\) となります。
よって、点 \(D\) の座標は \((3, -4, 6)\) です。
（空欄：21=3, 22=-4, 23=6）
(2) 四角錐 \(O-ABCD\) の体積
まず四面体 \(O-ABC\) の体積を求めます。
3つの辺 \(OA, OB, OC\) がそれぞれ \(x, y, z\) 軸上にあり互いに直角であるため、
\(V_{OABC} = \frac{1}{3} \times (\triangle OAB) \times OC = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4) \times 6 = 12\)
平行四辺形 \(ABCD\) の面積は \(\triangle ABC\) の2倍なので、四角錐 \(O-ABCD\) の体積も四面体 \(O-ABC\) の2倍となります。
よって、体積は \(24\) です。
（空欄：24=2, 25=4）
(3) 平行四辺形 \(ABCD\) の面積
\(\vec{AB} = (-3, 4, 0)\), \(\vec{AC} = (-3, 0, 6)\) より、
\(|\vec{AB}|^{2} = (-3)^{2} + 4^{2} + 0^{2} = 25\)
\(|\vec{AC}|^{2} = (-3)^{2} + 0^{2} + 6^{2} = 45\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3)(-3) + 4(0) + 0(6) = 9\)
\(\triangle ABC = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^{2}|\vec{AC}|^{2} – (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{25 \cdot 45 – 9^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{1125 – 81} = \frac{1}{2}\sqrt{1044} = 3\sqrt{29}\)
平行四辺形 \(ABCD\) はその2倍なので、\(6\sqrt{29}\) です。
（空欄：26=6, 27=2, 28=9）
(4) 線分 \(OH\) の長さの2乗
四面体 \(O-ABC\) の体積 \(V=12\) について、底面を \(\triangle ABC\) とすると高さは \(OH\) です。
\(12 = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{29} \times OH\)
\(12 = \sqrt{29} \cdot OH \implies OH = \frac{12}{\sqrt{29}} = \frac{12\sqrt{29}}{29}\)
よって、長さの2乗は \(\frac{144}{29}\) です。
（空欄：29=1, 30=4, 31=4, 32=2, 33=9）
(5) \(s, t\) を \(u\) で表す
\(\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC} = (3s, 4t, 6u)\) です。
垂線なので \(\vec{OH} \perp \vec{AB}\) かつ \(\vec{OH} \perp \vec{AC}\) です。
- \(\vec{OH} \cdot \vec{AB} = (3s, 4t, 6u) \cdot (-3, 4, 0) = -9s + 16t = 0 \implies s = \frac{16}{9}t\)
- \(\vec{OH} \cdot \vec{AC} = (3s, 4t, 6u) \cdot (-3, 0, 6) = -9s + 36u = 0 \implies s = 4u\)
\(s = 4u\) を上の式に代入すると、\(4u = \frac{16}{9}t \implies t = \frac{36}{16}u = \frac{9}{4}u\)
よって、\(s = 4u, t = \frac{9}{4}u\) となります。
（空欄：34=4, 35=9, 36=4）
(6) 点 \(H\) のx座標
点 \(H\) は平面 \(ABC\) 上にあるので、\(s + t + u = 1\) が成り立ちます。
\(4u + \frac{9}{4}u + u = 1\)
\(\frac{16 + 9 + 4}{4}u = 1 \implies \frac{29}{4}u = 1 \implies u = \frac{4}{29}\)
\(s = 4u = 4 \times \frac{4}{29} = \frac{16}{29}\)
点 \(H\) のx座標は \(3s\) なので、
\(3 \times \frac{16}{29} = \frac{48}{29}\)
よって、x座標は \(\frac{48}{29}\) です。
（空欄：37=4, 38=8, 39=2, 40=9）
💡 講師からのまとめ
(4)の長さを求める際、(6)の座標を出す前に「体積」を利用して逆算するのがスピードアップのコツです。また、(5)で求めた \(s, t, u\) の和がしっかり1になっているかを確認することで、計算ミスを未然に防ぐことができます。
