周南公立大2025 前期日程 経済経営/情報科学　第1問

問題

【解答速報】2025年度 一般選抜前期日程 数学 第1問 解説

2025年度（令和7年度）の第1問は、西暦である「2025」をテーマにした、整数・対数関数の総合問題です。計算精度と、有理数の扱いがポイントになります。

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(1) \(\sqrt{2025}\) の値を求めよ。

【着眼点】

下2桁が「25」であることから、5の倍数の2乗である可能性を考えて計算を組み立てます。

【解答】

\(2025\) を素因数分解すると、以下のようになります。
\(2025 = 5 \times 405 = 5 \times 5 \times 81 = 5^{2} \times 9^{2} = (5 \times 9)^{2} = 45^{2}\)

したがって、求める値は
\(\sqrt{2025} = \sqrt{45^{2}} = 45\)
となります。

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(2) \(2025\) の約数の個数を求めよ。

【着眼点】

素因数分解 \(N = p^{a} \cdot q^{b} \cdots\) に対し、正の約数の個数は \((a+1)(b+1)\cdots\) で求められます。

【解答】

(1)より、\(2025 = 3^{4} \times 5^{2}\) と素因数分解できます。
よって、約数の個数は、それぞれの指数に \(1\) を足して掛け合わせることで求められます。
\((4+1) \times (2+1) = 5 \times 3 = 15\) 個、負の個数も合わせて30個
となります。

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(3) 方程式 \(\log_{2025}(20x+25)^{2} = 2\) を解け。

【着眼点】

対数の定義 \(\log_{a} M = p \iff M = a^{p}\) に基づいて解きます。真数条件の確認も忘れずに。

【解答】

まず、真数条件より \((20x+25)^{2} > 0\) であるため、\(20x+25 \neq 0\)、すなわち \(x \neq -\frac{5}{4}\) です。

次に、対数の定義より
\((20x+25)^{2} = 2025^{2}\)
\(20x+25 = \pm 2025\)

(i) \(20x+25 = 2025\) のとき
\(20x = 2000\) より \(x = 100\)

(ii) \(20x+25 = -2025\) のとき
\(20x = -2050\) より \(x = -\frac{205}{2}\)

これらはともに \(x \neq -\frac{5}{4}\) を満たします。
したがって、求める解は \(x = 100, -\frac{205}{2}\) です。

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(4) \(\log_{10} 2025\) の値を小数第4位まで求めよ。

（ただし \(\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771\) とする）

【着眼点】

\(\log_{10} 5 = 1 – \log_{10} 2\) を利用して、素因数分解した形に代入します。

【解答】

\(2025 = 3^{4} \times 5^{2}\) より
\(\log_{10} 2025 = \log_{10} (3^{4} \times 5^{2}) = 4 \log_{10} 3 + 2 \log_{10} 5\)
\(= 4 \log_{10} 3 + 2(1 – \log_{10} 2)\)

与えられた値を代入すると
\(4 \times 0.4771 + 2 \times (1 – 0.3010) = 1.9084 + 1.3980 = 3.3064\)
となります。

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(5) \(20^{25}\) の桁数と最高位の数を求めよ。

【着眼点】

• 桁数: \(\log_{10} N\) の整数部分を \(k\) とすると、桁数は \(k+1\) です。
• 最高位の数: \(\log_{10} N\) の小数部分 \(d\) について、\(\log_{10} m \leqq d < \log_{10} (m+1)\) を満たす整数 \(m\) を探します。

【解答】

\(N = 20^{25}\) とおき、常用対数をとります。
\(\log_{10} N = \log_{10} 20^{25} = 25 \log_{10} 20\)
\(= 25 \log_{10} (2 \times 10) = 25 (\log_{10} 2 + 1)\)

与えられた値 \(\log_{10} 2 = 0.3010\) を代入すると、
\(\log_{10} N = 25 \times (0.3010 + 1) = 25 \times 1.3010 = 32.525\)

1. 桁数について
\(\log_{10} N\) の整数部分が \(32\) であるため、桁数は
\(32 + 1 = 33\) 桁
となります。

2. 最高位の数について
\(\log_{10} N\) の小数部分は \(0.525\) です。
既知の対数値と比較すると、
\(\log_{10} 3 = 0.4771\)
\(\log_{10} 4 = 2 \log_{10} 2 = 2 \times 0.3010 = 0.6020\)
より、
\(\log_{10} 3 < 0.525 < \log_{10} 4\)
が成り立ちます。
これは \(3 < 10^{0.525} < 4\) を意味するため、最高位の数は 3 です。