近畿大2025 A日程 2/11理工/農/産業理工②理型第1問

2025理系数学近畿大

問題

第1問
(1)
位取りの基礎を2とする数の表し方を2進法という。ここでは各位の数字を0または1とし,例えば2進法で表された4桁の数1101を,日常的に使用されている10進法で表すと
1⋅23+1⋅22+0⋅21+1⋅20=13\;1 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+0 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0=13\;となる。
(i)2進法で表された数1001を10進法で表すとア□\; {}^{\text{ア}} \Box \;であり,2進法で表された数10101010を10進法で表すと,イ□ウ□エ□\;{}^{\text{イ}}\Box\; {}^\text{ウ}\Box\; {}^\text{エ}\Box\;である。自然数のうち,2進法で表した時に8桁以下となる数は全部でオ□カ□キ□\; {}^\text{オ} \Box \; {}^\text{カ} \Box \; {}^\text{キ} \Box \;個ある。
(ii)2進法で表された64桁の数で,全ての数字が1であるものをNとする。Nを10進法で表した時の桁数はク□ケ□\;{}^{\text{ク}}\Box \:{}^{\text{ケ}} \Box\;である。ただし,log10⁡2=0.3010\;\log_{10}2=0.3010\;とする。

(2)
1つの面が青色で,その他の5つの面が白色の正六面体があり,その6つの面に1つずつ数字を記入する。ただし,正六面体を回転して各面の色と数字が一致すれば,記入方法は同じであるとみなす。
(i)青色の面に1を記入し,白色の面に1を1つ,2を4つ記入する方法の総数はコ□\;{}^{\text{コ}}\Box\;である。青色の面に2を記入し,白色の面に1を2つ,2を3つ記入する方法の総数はサ□\;{}^{\text{サ}}\Box\;である。
(ii)6つの面に1を2つ,2を4つ記入する方法の総数はシ□\;{}^{\text{シ}}\Box\;である。
(iii)6つの面に1を2つ,2を3つ,3を1つ記入する方法の総数はス□セ□\;{}^{\text{ス}}\Box\; {}^{\text{セ}}\Box\;である。
(iv)1,2,3,4,5,6から数字を選んで,6つの面に重複を許して記入する。このとき,向かい合う面の2つの数字の和がすべて6である記入する方法の総数はソ□タ□\;{}^{\text{ソ}}\Box\; {}^{\text{タ}}\Box\;である。

(1)は2進法の問題。桁数の問題は常用対数の定石に持ち込むと良い。(2)は場合の数。青の面に塗る数で場合分けすると解きやすい。(iv)も数字の組み合わせで場合分けして、それぞれに対して塗り方を考えると良い。

解答・解説

解説
(1)
(i)1001(2)=1⋅23+1⋅24=9\;1001_{(2)}=1\cdot2^3+1\cdot2^4=9\;
10101010(2)=1⋅27+1⋅25+1⋅23+1⋅21\;10101010_{(2)}=1 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^1 \;
=128+32+8+2=170\;= 128 + 32 + 8 +2 = 170\;
自然数nに対して,nが2進数で8桁以下となるのは,n<28→n<256\;n<2^8 \rightarrow n<256\;
つまりn=258\;n=258\;は2進法で表すと9桁の最小。
よって求めるnの個数は255

(ii)Nは2進法で64桁全て1の数。
N+1\;N+1\;は65桁で最小の数で,最高位が1,残りが0。10進法で表すと,N+1=264\;N+1=2^{64}\;
ここで,
log10⁡264=64⋅log10⁡2=64⋅0.3010=19.264\;\log_{10}2^{64}= 64 \cdot \log_{10}2= 64 \cdot 0.3010= 19.264\;
つまり,
19<log10⁡264<20→1019<264<1020\;19<\log_{10}2^{64}<20 \rightarrow 10^{19}<2^{64}<10^{20}\;
→1019<N+1<1020\; \rightarrow 10^{19}<N+1<10^{20}\:
1019,1020\;10^{19},10^{20}\;は十分大きいので,1019<N<1020\;10^{19}<N<10^{20}\:
よってNは20桁。

(2)
(i)
青の面が1の時,
青の向かいの面が1で,残り4つの面が2の場合が1通り。
青の向かいの面が2で,残り4つの面が1と2が3つの場合が1通り。
求める場合の数は合計2通り。
青の面が2の時,
青の向かいの面が1で,残り4つの面で1が1つ,2が3つの場合は1通り。
青の向かいの面が2で,残り4つの面で1が2つ,2が2つの場合は円順列で考えて2通り。
求める場合の数は合計3通り。
(ii)
(i)より求める場合の数は2+3=5\;2+3=5\;通り。
(iii)
(i)と同様に考える。
①青の面が3の時,
青の向かいの面が1の時は,1通り。
青の向かいの面が2の時は,円順列で考えて2通り。
②青の面が2の時,
青の向かいの面が1の時は,3通り。
青の向かいの面が2の時は,円順列で考えて3通り。
青の向かいの面が3の時は,円順列で考えて2通り。
③青の面が3の時,
青の向かいの面が1の時は,1通り。
青の向かいの面が2の時は,円順列で考えて3通り。
青の向かいの面が3の時は,円順列で考えて1通り。
以上より合計16通り。
(iv)
和が6になる組み合わせは,(1,5)(2,4)(3,3)\;(1,5)(2,4)(3,3)\;
この3つの組み合わせを順にA,B,Cとする。
向かいの面の和がすべて6に注意する。
青の面が1の時,向かいの面は5。
残り4面に対して,4つの数の選び方は6通り( AA,AB,AC,BB,BC,CC)。
CCの側面の記入の仕方は1通り。
ABの側面の記入の仕方は,円順列で考えて向かいの面の和が6に注意して2通り。
AA,ABの側面の記入の仕方は1通りずつ、計2通り。
AC,BCの側面の記入の仕方は1通りずつ、計2通り。
青の面が2~5の時も、6の時と同様の7通りずつあるので求める数は35通り。

解答
ア:9(3点)　イウエ:170(3点)
オカキ:255(3点)　クケ:20(4点)
コ:2(3点)　サ:3(3点)　シ:5(5点)
スセ:16(4点)　ソタ:35(4点)