第1問 問題
\(a\) は正の定数とし、\(x\) についての2つの関数
\[f(x) = a \sin x + \sin 2x, \quad g(x) = a \cos x + 2 \cos 2x\]
を考える。ただし、\(0 \leqq x \leqq \pi\) とする。また、\(t = \cos x\) とし、\(g(x)\) を \(t\) の式で表したものを \(h(t)\) とする。
(1) \(a = 1\) とする。
(i) \(f(x) = 0\) となるような \(x\) の値のうち2番目に大きいものを \(\alpha\) とする。このとき、
\[\alpha = \frac{{}^{1}\Box}{{}^{2}\Box}\pi, \quad g(\alpha) = -\frac{{}^{3}\Box}{{}^{4}\Box}\]
である。
(ii) \(h(t) = {}^{5}\Box t^{2} + t – {}^{6}\Box\) である。
(iii) 関数 \(g(x)\) は最小値 \(-\frac{{}^{7}\Box{}^{8}\Box}{{}^{9}\Box{}^{10}\Box}\) をとる。
(2) \(a = 2\) とする。\(h(t) = 0\) となるような \(t\) の値のうち最大のものを \(t = \beta\) とする。このとき、
\[x = \frac{{}^{11}\Box}{{}^{12}\Box}\pi, \quad f(x) = \frac{{}^{13}\Box}{{}^{14}\Box}\sqrt{{}^{15}\Box}\]
である。
(3) \(\gamma\) は \(0 \leqq \gamma \leqq \pi\) を満たす実数とし、関数 \(g(x)\) は \(x = \gamma\) で最小値 \(-\frac{22}{9}\) をとるとする。このとき、
\[a = \frac{{}^{16}\Box}{{}^{17}\Box}, \quad f(\gamma) = \frac{{}^{18}\Box}{{}^{19}\Box}\sqrt{{}^{20}\Box}\]
である。
第1問 解説
第1問は、三角関数の性質、2倍角の公式、および2次関数への置換を利用した最大・最小問題です。誘導に沿って、変数の範囲に注意しながら解き進める必要があります。
■ 問題のポイント
- 2倍角の公式: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), \(\cos 2x = 2 \cos^{2} x – 1\) の活用。
- 変数置換: \(t = \cos x\) と置換することで、三角関数を2次関数として扱います。
- 範囲の確認: \(0 \leqq x \leqq \pi\) より、\(t\) の範囲は \(-1 \leqq t \leqq 1\) となる点に注意が必要です。
(1) \(a = 1\) のとき
(i) \(\alpha\) および \(g(\alpha)\) の値
\(f(x) = \sin x + \sin 2x = \sin x + 2 \sin x \cos x = \sin x (1 + 2 \cos x)\)
\(f(x) = 0\) となるのは、\(\sin x = 0\) または \(\cos x = -\frac{1}{2}\) のときです。
\(0 \leqq x \leqq \pi\) において、
\(\sin x = 0 \implies x = 0, \pi\)
\(\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{2}{3}\pi\)
値は小さい順に \(0, \frac{2}{3}\pi, \pi\) なので、2番目に大きいものは \(\alpha = \frac{2}{3}\pi\) です。
（空欄：1=2, 2=3）
このとき、\(g(\alpha) = \cos \frac{2}{3}\pi + 2 \cos \frac{4}{3}\pi = -\frac{1}{2} + 2(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}\)
よって、\(g(\alpha) = -\frac{3}{2}\) です。
（空欄：3=3, 4=2）
(ii) \(h(t)\) の式
\(g(x) = a \cos x + 2 \cos 2x = a \cos x + 2(2 \cos^{2} x – 1) = 4 \cos^{2} x + a \cos x – 2\)
\(a = 1, \cos x = t\) とすると、
\(h(t) = 4t^{2} + t – 2\) となります。
（空欄：5=4, 6=2）
(iii) \(g(x)\) の最小値
\(h(t) = 4(t + \frac{1}{8})^{2} – \frac{33}{16}\) と平方完成できます。
\(-1 \leqq t \leqq 1\) の範囲において、頂点 \(t = -\frac{1}{8}\) は範囲内に含まれるため、
最小値は \(-\frac{33}{16}\) です。
（空欄：7=3, 8=3, 9=1, 10=6）
(2) \(a = 2\) のとき
\(h(t) = 4t^{2} + 2t – 2 = 2(2t – 1)(t + 1)\)
\(h(t) = 0\) より \(t = \frac{1}{2}, -1\) です。このうち最大のものは \(\beta = \frac{1}{2}\) です。
\(\cos x = \frac{1}{2}\) より、\(x = \frac{1}{3}\pi\) です。
（空欄：11=1, 12=3）
このときの \(f(x)\) の値は、
\(f(\frac{\pi}{3}) = 2 \sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\sqrt{3}\)
よって、\(f(x) = \frac{3}{2}\sqrt{3}\) です。
（空欄：13=3, 14=2, 15=3）
(3) 最小値条件からの決定
\(h(t) = 4t^{2} + at – 2\) の最小値を考えます。
頂点は \(t = -\frac{a}{8}\) です。\(a > 0\) より頂点は \(t < 0\) に位置します。 最小値が \(-\frac{22}{9}\) となるとき、 \(h(-\frac{a}{8}) = 4(-\frac{a}{8})^{2} + a(-\frac{a}{8}) – 2 = -\frac{a^{2}}{16} – 2\) \(-\frac{a^{2}}{16} – 2 = -\frac{22}{9} \implies \frac{a^{2}}{16} = \frac{4}{9} \implies a^{2} = \frac{64}{9}\) \(a > 0\) より、\(a = \frac{8}{3}\) です。
（空欄：16=8, 17=3）
このとき、最小値を与える \(t\) の値は \(\cos \gamma = -\frac{8/3}{8} = -\frac{1}{3}\) です。
\(0 \leqq \gamma \leqq \pi\) より \(\sin \gamma = \sqrt{1 – (-\frac{1}{3})^{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) です。
\(f(\gamma) = a \sin \gamma + 2 \sin \gamma \cos \gamma = \sin \gamma (a + 2 \cos \gamma)\)
\(f(\gamma) = \frac{2\sqrt{2}}{3} (\frac{8}{3} + 2(-\frac{1}{3})) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{6}{3} = \frac{4}{3}\sqrt{2}\)
よって、\(f(\gamma) = \frac{4}{3}\sqrt{2}\) です。
（空欄：18=4, 19=3, 20=2）
💡 講師からのまとめ
第1問は標準的な難易度ですが、(3)のように逆算して定数を求める問題では、計算ミスが致命傷になります。また、空欄の桁数から自分の計算が正しいか推測することも、マーク式・空欄補充式試験の重要なテクニックです。
